有界性：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上一定有界。最值性：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得最大值和最小值。介值性：若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。則對(duì)A、B之間的任意實(shí)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間(a,b)上至少有一點(diǎn)c，使f(c)=C。

連續(xù)函數(shù)有何性質(zhì)

有界性

所謂有界是指，存在一個(gè)正數(shù)M，使得對(duì)于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

證明：利用致密性定理：有界的數(shù)列必有收斂子數(shù)列。

最值性

所謂最大值是指，[a,b]上存在一個(gè)點(diǎn)x0，使得對(duì)任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同樣作定義，只需把上面的不等號(hào)反向即可。

介值性

這個(gè)性質(zhì)又被稱作介值定理，其包含了兩種特殊情況：

（1）零點(diǎn)定理。也就是當(dāng)f(x)在兩端點(diǎn)處的函數(shù)值A(chǔ)、B異號(hào)時(shí)（此時(shí)有0在A和B之間），在開(kāi)區(qū)間(a,b)上必存在至少一點(diǎn)ξ，使f(ξ)=0。

（2）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上必定取得最大值和最小值之間的一切數(shù)值。

一致連續(xù)性

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上一致連續(xù)。

所謂一致連續(xù)是指，對(duì)任意ε>0（無(wú)論其多么�。�，總存在正數(shù)δ，當(dāng)區(qū)間I上任意兩個(gè)數(shù)x1、x2滿足|x1-x2|<δ時(shí)，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就稱f(x)在I上是一致連續(xù)的。

函數(shù)的連續(xù)性

對(duì)于連續(xù)性，在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的。這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性。簡(jiǎn)單地說(shuō)，如果一個(gè)函數(shù)的圖像你可以一筆畫出來(lái)，整個(gè)過(guò)程不用抬筆，那么這個(gè)函數(shù)就是連續(xù)的。