2015年高考全國(guó)卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析（word精校版）

注意事項(xiàng)：

1．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫在答題卡上。

2．回答第I卷時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。

3．回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

（1）已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,則A∩B=（）

（A）｛--1,0｝（B）｛0,1｝（C）｛-1,0,1｝（D）｛,0,，1，2｝

【答案】A

【解析】由已知得

，故

，故選A

（2）若a為實(shí)數(shù)且（2+ai）（a-2i）=-4i,則a=（）

（A）-1（B）0（C）1（D）2

【答案】B

（3）根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量（單位：萬(wàn)噸）柱形圖。以下結(jié)論不正確的是()

（A）逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

（B）2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)

（C）2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)

（D）2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

【答案】D

【解析】由柱形圖得，從2006年以來(lái)，我國(guó)二氧化硫排放量呈下降趨勢(shì)，故年排放量與年份負(fù)相關(guān)．

（4）等比數(shù)列｛an｝滿足a1=3，

=21，則

()

（A）21（B）42（C）63（D）84

【答案】B

（5）設(shè)函數(shù)

,

()

（A）3（B）6（C）9（D）12

【答案】C

【解析】由已知得

，又

，所以

，故

．

（6）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】D

【解析】由三視圖得，在正方體

中，截去四面體

，如圖所示，，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為

，則

，故剩余幾何體體積為

，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為

．

（7）過(guò)三點(diǎn)A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圓交于y軸于M、N兩點(diǎn)，則

=

（A）2

（B）8（C）4

（D）10

【答案】C

（8）右邊程序抗土的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”。執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18，則輸出的a=

A.0B.2C.4D.14

【答案】B

【解析】程序在執(zhí)行過(guò)程中，

，

的值依次為

，

；

；

；

；

；

，此時(shí)

程序結(jié)束，輸出

的值為2，故選B．

（9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為

A．36πB.64πC.144πD.256π

【答案】C

【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面

的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐

的體積最大，設(shè)球

的半徑為

，此時(shí)

，故

，則球

的表面積為

，故選C．

10.如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x．將動(dòng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則f（x）的圖像大致為

【答案】B

的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以看出，軌跡關(guān)于直線

對(duì)稱，且

，且軌跡非線型，故選B．

（11）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為

（A）√5（B）2（C）√3（D）√2

【答案】D

（12）設(shè)函數(shù)f’(x)是奇函數(shù)

的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)

時(shí)，

，則使得

成立的x的取值范圍是

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】A

【解析】

記函數(shù)

，則

，因?yàn)楫?dāng)

時(shí)，

，故當(dāng)

時(shí)，

，所以

在

單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)

是奇函數(shù)，故函數(shù)

是偶函數(shù)，所以

在

單調(diào)遞減，且

．當(dāng)

時(shí)，

，則

；當(dāng)

時(shí)，

，則

，綜上所述，使得

成立的

的取值范圍是

，故選A．

二、填空題

（13）設(shè)向量

，

不平行，向量

與

平行，則實(shí)數(shù)

_________．

【答案】

【解析】因?yàn)橄蛄?/p>

與

平行，所以

，則

所以

．

（14）若x，y滿足約束條件

，則

的最大值為____________．

【答案】

（15）

的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則

__________．

【答案】

【解析】由已知得

，故

的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為

，

，

，

，

，其系數(shù)之和為

，解得

．

（16）設(shè)

是數(shù)列

的前n項(xiàng)和，且

，

，則

________．

【答案】

【解析】由已知得

，兩邊同時(shí)除以

，得

，故數(shù)列

是以

為首項(xiàng)，

為公差

的等差數(shù)列，則

，所以

．

三．解答題

（17）?ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，?ABD是?ADC面積的2倍。

(Ⅰ)求

;

(Ⅱ)若

=1，

=

求

和

的長(zhǎng).

(18)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：

A地區(qū)：62738192958574645376

78869566977888827689

B地區(qū)：73836251914653736482

93486581745654766579

（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可）；

（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)不等級(jí)：

滿意度評(píng)分	低于70分	70分到89分	不低于90分
滿意度等級(jí)	不滿意	滿意	非常滿意

記時(shí)間C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”。假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率

19．（本小題滿分12分）

如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形。

（1）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說(shuō)明畫法和理由）；

（2）求直線AF與平面α所成的角的正弦值。

20．（本小題滿分12分）

已知橢圓C：

，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M。

（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

（2）若l過(guò)點(diǎn)

，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由。

21．（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)

。

（1）證明：

在

單調(diào)遞減，在

單調(diào)遞增；

（2）若對(duì)于任意

，都有

，求m的取值范圍。

請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)

22．（本小題滿分10分）

選修4-1：幾何證明選講

如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，⊙O與ΔABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)。

（1）證明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半徑，且

，求四邊形EBCF的面積。

23．（本小題滿分10分）

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：

（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α<π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：

，C3：

。

（1）求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求

的最大值。

24．（本小題滿分10分）

選修4-5：不等式選講

設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明：

（1）若ab>cd；則

；

（2）

是

的充要條件。

附：全部試題答案